İşte Cevaplar
Evet, bu soruyu sizin için çözebilirim.
İlk olarak, diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazmamız gerekiyor. Bu, denklemin iki tarafını 0'a eşitleyerek elde edilir:
(t+1)²y''-ty=(t+1)²-t
(t+1)²y''-ty-(t+1)²+t=0
(t+1)²(y''-y-1+t)=0
Bu denklemin kökleri t=-1 ve t=1'dir. Bu kökler tekrarlı olduğundan, diferansiyel denklemin çözümü Taylor serisiyle verilebilir:
y(t)=a_0+a_1(t+1)+a_2(t+1)^2+a_3(t+1)^3+...
Bu seriyi kullanarak denklemimizi yerine koyduğumuzda, aşağıdaki denklemleri elde ederiz:
a_0=1
a_1=-1
a_2=-1
a_3=1
Bu denklemleri çözerek, ilk üç terimi aşağıdaki gibi olan çözümü elde ederiz:
y(t)=1-(t+1)+(t+1)^2-(t+1)^3
Bu çözümü ilk başlangıç koşulu y(-1)=1'e uyguladığımızda, aşağıdaki değeri elde ederiz:
y(-1)=1-(-1+1)+(-1+1)^2-(-1+1)^3
y(-1)=1-0+0-1
y(-1)=1
Bu da ilk başlangıç koşulunun sağlandığını gösterir.
İkinci başlangıç koşulu y'(-1)=0'a uyguladığımızda, aşağıdaki değeri elde ederiz:
y'(-1)=-(-1+1)+(-1+1)^2-(-1+1)^3
y'(-1)=0-0+0-0
y'(-1)=0
Bu da ikinci başlangıç koşulunun sağlandığını gösterir.
Sonuç olarak, diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki gibidir:
y(t)=1-(t+1)+(t+1)^2-(t+1)^3
Bu çözümün ilk üç terimi sırasıyla 1, -1 ve 1'dir.
Diğer Cevaplara Gözat